下面是小编为大家整理的函数知识要点【完整版】,供大家参考。
函数知识要点 1、 函数的概念； 2、 函数的三要素:
、
、
； 3、 函数的表示法:
、
、
； 4、 确定函数定义域的方法: （1）、若 ( ) f x 是整式，则定义域为 R ； （2）、若 ( ) f x 是分式，则其定义域是使分母不为 0 的实数的集合； （3）、若 ( ) f x 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子大于等于 0 的实数的集合； （4）、零次幂的底数不能为零； （5）、对数函数要注意真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1； （6）、函数 ( ) tan( ) f x x 的定义域为
； （7）、若是由几部分组成的，则其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； 5、求函数值域的方法: 6 6 、随堂检验
例 1、求下列函数的定义域
（1）、23( ) lg(3 1)1xf x xx
（2）、202( ) (3 2 )lg(2 1)x xf x xx
例 2、求下列函数的值域
（1）、23 2, [1,3]; y x x x
（2）、22 1 1( )2 1 2x xy xx
二、 函数的基本性质
1 1 、 单调性
（1）、定义:一般地，设函数 ( ) y f x 的定义域为 A ，区间 I A .如果对于区间 I 内的任意两个值1 2 1 2, , x x x x 当 时，都有
，那么就说函数 ( ) y f x 在区间 I 上是增函数 ， 称 区 间 I 为 ( ) y f x 的
. 如 果 对 于 区 间 I 内 的 任 意 两 个 值1 2 1 2, , x x x x 当 时，都有
，那么就说函数 ( ) y f x 在区间 I 上是减函数，称区间I 为 ( ) y f x 的
. 注意: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）、简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内:增函数 ) (x f 增函数 ) (x g 是增函数； 减函数 ) (x f 减函数 ) (x g 是减函数； 增函数 ) (x f 减函数 ) (x g 是增函数； 减函数 ) (x f 增函数 ) (x g 是减函数。
（3）、复合函数的单调性: 同增异减
2 2 、 奇偶 性
（1）、定义:一般地，设函数 ( ) y f x 的定义域为 A ，如果对于任意的 x A ，都有
，则称 ( ) f x 为偶函数；如果对于任意的 x A ，都有
，则称 ( ) f x 为奇函数. 注意: ○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数具有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性 函数的定义域关于
对称. （2）、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定 ( ) f x 与 (- ) f x 的关系； ○3 作出相应结论 （3）、简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数 函数的图象
关于对称；一个函数是偶函数 函数的图象关于
对称； ②若奇函数的定义域包含 0，则 (0) f
； ③设 ( ) f x ， ( ) g x 的定义域分别是1 2, D D ，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇 3 3 、 周期性
（1）、定义：设函数 ( ) y f x 的定义域为 A ，如果存在一个非零常数 T ，使得对于任意的x A ，都有
，则称 ( ) f x 为周期函数， T 为 ( ) y f x 的一个周期；若 ( ) f x 的周期中，存在一个最小的正数，则称它为 ( ) f x 的最小正周期. （2）、性质：若周期函数 ( ) f x 的周期为 T ，则 ( ) ( 0) f x b 是周期函数，且周期为| | T. 4 4 、 随堂检验
例 1、函数2( ) ln( 3 2) f x x x 的单调增区间为
. 例 2、已知2( ) ( 1) 3 f x b x cx b 是偶函数，且定义域为 ( 1,2 ) b b ，则 , b c 的值为
.
例 3 、 已 知 定 义 在 [ 2,2] 上 的 偶 函 数 ( ) f x 在 区 间 [0,2] 上 单 调 递 减 ， 若(1 ) ( ) f m f m ，实数 m 的取值范围为
. 例 4、已知 ( ) f x 定义在 R 上的奇函数，当 0 x 时，2( ) 2 1 f x x x ，则在 R 上 ( ) f x的解析式为
. 例 5、定义在 R 上的函数 ( ) f x 满足：2log (1 ), 0( )( 1) ( 2), 0x xf xf x f x x ，那么 (2011) f的值为
. 三、指数函数
1、幂的运算性质. （1）m na a
； （2）
( )m na
； （3）
( ) n ab
. 2、指数函数的定义：一般地，函数
叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是
. 3、指数函数的图象和性质：
) 1 0 ( a a a yx且 的图象和性质
1 a
0 1 a
图 象
性 质
(1) 定义域：
（2）值域：
（3）过定点（
）
0 1; 0 1 x y x y 时, 时,0
0 1; 0 1 x y x y 时,0 时,
（4）在 R 上是
函数 （4）在 R 上是
函数 4 4 、随堂检验
例 1、三个数：1 1 25 5 52 6 6( ) ,( ) ,( )5 5 5 ，从小到大依次为
.
例 2、已知5 12a ，函数 ( )xf x a .若实数 m n 、 满足 ( ) ( ) f m f n ，则 m n 、 的大小关系为
.
例 3、若函数 ( ) ( 0 1)xf x a a a 且 在 [1,2] 上的最大值比最小值大2a，则 a
.
例 4、若函数 ( ) (1 ) x f x a 在 R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是
.
例 5、221( )3x xf x 的值域为
. 四、对数函数
1、指数式与对数式的互化：xa N
. 2、对数的运算性质 （1）、 log ( )aMN
； log aMN
；
logna M
. ( ) n R
（2）、对数换底公式 log a N
. 说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）：
① log log 1a bb a ； ② log logmnaanb bm ； ③ log log logb a ba x x
（3）、几个常用的结论
① log 1a
;
log a a
;
② logna a
;
log a Na
; 3、对数函数的定义：一般地，形如
的函数叫做对数函数，定义域是
. 4、对数函数的图象和性质：
log ( 0, 1)ay x a a 的图象和性质
1 a
0 1 a
图 象
性 质 (1) 定义域：
（2）值域：
（3）过定点（
）
0 1 , 0; 1 , 0 x y x y 时 时
0 1 , 0; 1 , 0 x y x y 时 时
（4）在 (0, ) 上是
函数 （4）在 (0, ) 上是
函数 5 5 、随堂检验
例 1、计算（1）、2(lg2) lg2 lg50 lg25
（2）、5log 33 3 3322log 2 log log 8 59
例 2、已知18log 9 ,18 5ba ，则36log 45
（用 a、b 表示）
例 3、将23 0.50.3 ,log ,log 1.5 由从小到大排列的顺序是
.
例 4、已知 log (3 )ay ax 在 [0,2] 上是关于 x 的减函数，则 a 的取值范围是
.
例 5、设 0, 1 a a ，函数11xy a 的图象必过定点
；函数 log ( 1) 1ay x 的图象必过定点
. 五、幂函数
1、幂函数概念：一般地，形如
的函数称为幂函数，其中
是自变量,
是常数. 注意：幂函数与指数函数的区别． 2、幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点
；（2）任何幂函数都不过
象限； （3）
0 幂函数在 (0, ) 上
； 0 幂函数在 (0, ) 上
； （4）
0 幂函数的图象过原点； 0 幂函数的图象不过原点； 六、函数与方程
1、零点：一般地，使得函数 ( ) 0 f x 的实数 x 叫做函数 ( ) y f x 的零点． 2、函数的零点与对应方程的关系：
方程 ( ) 0 f x 有实数根 函数 ( ) y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 ( ) y f x 有零点． 3、零点存在定理：若函数 ( ) f x 的图象在 [ , ] a b 上不间断，且 ( ) ( ) 0 f a f b ，则函数 ( ) f x在 ( , ) a b 上有零点. 4 4 、随堂检验
例 1、已知幂函数22 2 3( 1)m my m m x ，当 (0, ) x 时为减函数，解析式为
.
例 2、已知幂函数22 3 ()m my x m Z 为偶函数，当 (0, ) x 时为减函数,则解析式为
,
例 3、已知2( ) 2 2 3 f x ax x a 在区间 [ 1,1] 上有零点，则 a 的取值范围是
.
例 4、 (0,1) a ，方程 logxaa x 的解的个数为
.