5.4,三角函数图象与性质（精讲）（解析版）

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　5.4 三角函数的图象与性质（精讲）

　函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象

　定义域 R R x  x∈R，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 － π2 ＋2kπ，π2 ＋2kπ (k∈Z)上是递增函数，π2 ＋2kπ，3π2＋2kπ (k∈Z)上是递减函数 [2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数， [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在 － π2 ＋kπ，π2 ＋kπ (k∈Z)上是递增函数

　 周期性 周期是 2kπ(k∈Z 且 k≠0)，最小正周期是 2π 周期是 2kπ(k∈Z 且 k≠0)，最小正周期是 2π 周期是 kπ(k∈Z 且 k≠0)，最小正周期是 π 对称性 对称轴是 x＝ π2 ＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是 x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 kπ＋ π2 ，0 (k∈Z) 对称中心是 kπ2，0 (k∈Z)

　思维导图

　考法一

　五点画图

　【例 1 1 】（2021·上海高一课时练习）用五点法作下列函数的图象：

　（1）sin , [ , ] y x x     ；

　 （2）1cos , [0,2 ]2y x x     ． 【答案】(1)图象见解析；(2)图象见解析. 【解析】(1)列表：

　x  

　2

　 0 2

　

　 y =sin x 0 -1 0 1 0 描点，连线，画图如下：

　常见考法

　 (2)列表：

　x 0 2

　

　 32

　2 

　 y= cos x 1 0 -1 0 1 1cos2y x  

　 32

　12

　12

　 12

　32 描点，连线，画图如下：

　 【一隅三反】

　1．（2021·上海高一专题练习）利用“五点法”作出函数1 cos y x  ，   0,2 x   的图象． 【答案】答案见解析 【解析】先找出五个关键点，列表如下：

　x

　0 2 

　32 2 

　1 cos y x   0 1 2 1 0 描点作出函数图象如下：

　 2．（2021·全国高一课时练习）当   2 ,2 x     时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x 的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ （1）sin y x  ； （2）

　sin y x  ； （3）

　sin y x  . 【答案】答案见解析 【解析】（1）该图象与sin y x 的图象关于 x 轴对称，故将sin y x 的图象作关于 x 轴对称的图象即可得到sin y x  的图象.

　（2）sin , 2 ,0 ,sinsin , 0, 2 ,x x xy xx x x         剟 剟剟 剟将sin y x 的图象在 x 轴上方部分保持不变，下半部分作关于 x 轴对称的图形，即可得到 sin y x  的图象.

　 （3）sin , 0,sinsin , 0,x xy xx x   …将sin y x 的图象在 y 轴右边部分保持不变，并将其作关于 y 轴对称的图形，即可得到 sin y x  的图象.

　考法二

　解三角不等式

　【例 2 2 】（1）（2021·全国高一课时练习）不等式2sin , (0,2 )2x x   … 的解集为（

　）

　A．,6 2      B．3,4 4      C．4 23,      D．,6 4      （2）．（2021·陕西省洛南中学高一月考）在   0,2 x   上，满足 cos sin x x  的 x 的取值范围（

　）

　A．5,4 4      B． 0,4     C．50, ,24 4           D．5,24    （3）（2021·北京景山学校远洋分校高一期中）若 tan 0 x ，则（

　）

　A．π2 π 2 π2k x k    ， kZ

　B．π2 π (2 1)π2k x k     ， kZ

　C．ππ π2k x k    ， kZ

　D．ππ π2k x k    ， kZ

　 【答案】（1）B（2）C（3）C

　【解析】（1）2sin , (0,2 )2x x   …sin y x 函数图象如下所示：

　34 4   x ，  不等式的解集为：3,4 4     ．故选：

　B ． （2）作出sin y x 和cos y x 在   0,2 x   的函数图象， 根据函数图象可得满足 cos sin x x  的 x 的取值范围为50, ,24 4          . 故选：C.

　（3）在,2 2     上， tan 0 x 02x   ，因此在 R 上， tan 0 x 的解是ππ π2k x k    ， kZ ． 故选：C．

　【一隅三反】

　1．（2021·江西新余·（文））已知( ) f x 的定义域是31,2   ，则(sin2 ) f x 的定义域为（

　）

　A．2,3 6k k       ， k Z 

　B．,6 3k k      ， k Z 

　C．22 , 23 6k k       ， k Z 

　D．2 , 26 3k k      ， k Z 

　【答案】A

　【解析】( ) f x 的定义域是31,2   ，故由31 sin22x    可得， 解得  42 2 23 3k x k k Z         ，  23 6k x k k Z        

　因此，函数(sin2 ) f x 的定义域为  22 , 23 6k k k Z        . 故选：A. 2．（2021·银川三沙源上游学校高一月考（理））函数 2cos 1 y x   的定义域是（

　）

　A． 2,2 ( Z)3 3k k k        B． 2,2 ( Z)6 6k k k        C．22 ,2 ( Z)3 3k k k        D．2 22 ,2 ( Z)3 3k k k        【答案】D 【解析】由 2cos 1 0 x  ，得1cos2x  … ， 解得2 22 2 , Z3 3k x k k      剟 ． 所以函数的定义域是2 22 ,2 ( Z)3 3k k k       . 故选：D． 3 3．（2021·全国高一课时练习）函数  lg 2 2cos y x  的定义域是________. 【答案】π 7π| 2 π 2 π, Z4 4x k x k k        【解析】由 2 2cos 0 x   得2cos2x  ， 作出cos y x 的图象和直线22y  ，

　由图象可知2cos2x  的解集为π 7π| 2 π 2 π, Z4 4x k x k k       ， 故答案为：π 7π| 2 π 2 π, Z4 4x k x k k       .

　4 4．（2021·上海高一专题练习）利用图象，不等式 3 tan2 1 x    的解集为____________. 【答案】

　( , ],2 6 2 8k kk Z     

　【解析】tan2 y x 函数图象如下所示：

　 令 tan2 1 x ，则 2 ,4x k k Z    ，解得 ,8 2kx k Z    ； 令 tan2 3 x   ，则 2 ,3x k k Z     ，解得 ,6 2kx k Z     ， 因为 3 tan2 1 x    ，所以 ,6 2 8 2k kx k Z         ，即原不等式的解集为 , ,6 2 8 2k kk Z         ， 故答案为：, ,6 2 8 2k kk Z         .

　 考法三

　周期

　【例 3 3 】（1）（2021·济源市第五中学）下列函数中，最小正周期为 π 的是（

　）

　A． y =sin x

　B． y =cos x

　C． y =tan x

　D． y =sin2x （2）．（2021·江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中① sin y x  ；② sin y x  ；③ tan y x  ；④1 2cos y x   ，其中是偶函数，且最小正周期为  的函数的个数为（

　）

　A． 1

　B． 2

　C． 3

　D． 4

　【答案】（1）C（2）B 【解析】（1）函数 y =sin x ， y =cos x 的最小正周期均为 2  ，A，B 都不正确； 函数 y =tan x 的最小正周期为  ，C 正确； 函数 y =sin2x的最小正周期为2412 ，D 不正确. 故选：C

　（2）①的图象如下，根据图象可知，图象关于 y 轴对称， sin y x  是偶函数， 但不是周期函数，  排除①；

　②的图象如下，根据图象可知，图象关于 y 轴对称， sin y x  是偶函数， 最小正周期是  ，  ②正确；

　③的图象如下，根据图象可知，图象关于 y 轴对称， tan y x  是偶函数， 最小正周期为  ，  ③正确；

　④的图象如下，根据图象可知，图象关于 y 轴对称， 1 2cos y x   是偶函数，最小正周期为 2  ，  排除④.

　故选：B.

　【一隅三反】

　1．（2021·原阳县第三高级中学）下列函数中，最小正周期为  的是（

　）

　A．1sin2 6y x      B．cos 23y x      C．tan 24y x      D． sin2xy

　【答案】B 【解析】对于 A，最小正周期2412T  ，故错误； 对于 B，最小正周期22T   ，故正确； 对于 C，最小正周期2T ，故错误； 对于 D，最小正周期2=42T，故错误. 故选：B 2．（2021·北京北师大实验中学高一期中）在函数①cos|2 | y x ，②|cos | y x  ，③πcos 26y x    ，④πtan 24y x    中，最小正周期为 π

　的所有函数为（

　）

　A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【解析】∵cos|2 | y x = cos2x ，∴ T =22=  ； |cos | y x 图象是将 y = cosx 在 x 轴下方的图象对称翻折到 x 轴上方得到， 所以周期为  ，由周期公式知， cos(2 )6y x  为  ， tan(2 )4y x  为2，故选：

　C . 3．（2021·上海市进才中学高一期中）已知函数  4tan , 05y x        的最小正周期为2，则   _____. 【答案】

　2 

　【解析】因为函数  4tan , 05y x        的最小正周期为2，所以=| | 2 ，所以 2   .故答案为：

　2 

　4．（2021·全国）若函数sin3 3ky x     的周期不大于 1，则正整数 k 的最小值为___________． 【答案】19

　【解析】因为函数sin3 3ky x     的周期不大于 1，所以213Tk ，解得 6 k   ， 所以正整数 k 的最小值为 19，故答案为：19

　考法四

　奇偶性

　【例 4 4 】（1）（2021·上海浦东新·）下列函数中，最小正周期为  的奇函数是（

　）

　A．cos 22y x      B．sin 22y x      C．sin 24y x      D．   cos 2 y x   

　（2）．（2021·全国高一课时练习）已知函数( ) 2sin4f x x     是奇函数，当,2 2     时  的值为（

　）

　A．38 

　B．4

　C．4 D．38 【答案】（1）A（2）B 【解析】（1）四个函数的最小正周期都是  ， cos(2 ) sin22y x x    是奇函数， sin(2 ) cos22y x x   是偶函数， sin(2 )4y x  ， 0 x  时，2sin4 2y  ，函数图象不过原点，也不关于 y 轴对称，既不是奇函数也不是偶函数，cos(2 ) cos2 y x x     是偶函数．故选：A． （2 2 ）函数( ) 2sin4f x x     是奇函数，故   ,4 4k k k Z           ，对照选项只有 k

　=0 时，选项 B 符合题意故选：B

　【一隅三反】

　1 1．（2021·上海市实验学校高一期中）函数sin y x （

　）

　A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数； C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数. 【答案】D 【解析】函数的定义域为 R ，

　因为 ( ) sin sin ( ) f x x x f x      ，所以函数为偶函数， 因为sin y x 的图象将sin y x 的图象在 y 轴左边的去掉， y 轴右边的关于 y 对称后与 y 轴右边的共同组成的图象，如图所示，不具有周期性，故选：D

　2．（2021·广东）（多选）下列函数中最小正周期为 π ，且为偶函数的是（

　）

　A． cos y x 

　B．sin2 y x  C．πsin 22y x     D．1cos2y x 

　【答案】AC 【解析】对于 A，定义域为 R ，因为 ( ) cos( ) cos ( ) f x x x f x      ，所以函数为偶函数，因为 cos y x  的图象是由cos y x 的图象在 x 轴下方的关于 x 轴对称后与 x 轴上方的图象共同组成，所以 cos y x  的最小正周期为 π ，所以 A 正确，

　对于 B，定义域为 R ，因为( ) sin( 2 ) sin2 ( ) f x x x f x       ，所以函数为奇函数，所以 B 错误， 对于 C，定义域为 R ，π( ) sin 2 cos22f x x x     ，最小正周期为 π ，因为( ) cos( 2 ) cos2 ( ) f x x x f x     ，所以函数为偶函数，所以 C 正确，对于 D，定义域为 R ，最小正周期为2412 ，所以 D 错误，故选：AC 3．（2021·长宁·上海市延安中学高一期中）已知函数sin( ) y x   是偶函数，若2     ，则   _________ 【答案】32 【解析】因为函数sin( ) y x   是偶函数，2k     ， k Z 

　又2     ，32  

　故答案为：32 4．（2021·辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为 1 的偶函数   f x  ______．

　【答案】

　cos2πx

　【解析】因为函数cos y x  的周期为2π| | ，所以函数cos2π y x 的周期为 1. 故答案为：

　cos2πx .（答案不唯一）

　考法五

　单调性 【例 5 5 】（1）（2021·全国高一课时练习）函数2sin( 2 ) y x   的单调增区间是_________. （2）．（2021·长宁·上海市延安中学高一期中）函数2sin 2 , [ ,0]6y x x      单调减区间为_________ （3）（2021·上海杨浦·复旦附中高一期中）函数( ) cos 23f x x     的单调递增区间为_________ （4）（2021·上海市长征中学）若3cos ( 0)2 4y x      在 0,2    上为严格减函数，则  的最大取值为_______ 【答案】（1）3, ,4 4k k k       Z （2）5,6 3      （3）, ,3 6k k k        Z （4）32 【解析】（1）函数2sin( 2 ) 2sin2 y x x     ，令32 2 2 ,2 2k x k k     Z 剟 ， 解得3,4 4k x k k     Z 剟 .故答案为：3, ,4 4k k k       Z

　（2）正弦函数sin y u 的单调递减区间为  32 , 22 2k k k Z       ， 由  32 2 22 6 2k x k k Z          ，得  26 3k x k k Z        ， 记  2,6 3A k k k Z        ，则  5,0 ,6 3A       I，故答案为：5,6 3      . （3）( ) cos 2 cos 23 3f x x x              ，所以 2 2 2 ,3k x k k Z        ， 解得 ,3 6k x k k Z         ，所以单调递增区间为 , ,3 6k k k        Z

　故答案为：, ,3 6k k k        Z

　（4）0,2x    ，,4 4 2 4x           ， 函数在区间 0,2    上为严格减函数，2 4       ，且 0   ，302    ， 所以  的最大取值为32.故答案为：32

　【一隅三反】

　1．（2021·六盘山高级中学）函数tan 23y x      的单调增区间为（

　）

　A．5, ( )2 12 2 12k kk Z          B．5, ( )2 12 2 12k kk Z          C．5, ( )12 12k k k Z        D．5, ( )12 12k k k Z        【答案】B 【解析】因为函数tan y x 的单调递增区间为, ( )2 2k k k Z       ， 所以 2 ( )2 2 3, k k k x Z          ，解得5,( )2 12 2 12k kx k Z        ， 所以函数tan 23y x      的单调增区间为5, ( )2 12 2 12k kk Z         .故选：B 2．（2021·北京海淀·）下列函数中，周期为 π 且在区间2   ，上单调递增的是（

　）

　A．cos2 y x  B．sin2 y x  C．1cos2y x 

　D．1sin2y x 

　【答案】A 【解析】A，cos2 y x ，2T ， 由余弦函数的单调递增区间可得 22 2 , k x k k Z       ， 解得 ,2k x k k Z      ，当 1 k  时，2x   ，故 A 正确； B，sin2 y x ，2T ， 由余弦函数的单调递增区间可得 2 2 2 ,2 2k x k k Z        ， 解得 ,4 4k x k k Z        ，显然在区间2   ，上不单调，故 B 错误； C，1cos2y x  ，24 T ，故 C 错误； D，1sin2y x  ，24 T ，故 D 错误；故选：A 3 3．（2021·镇雄县第四中学高一月考）已知函数  12sin2 3f x x      .则函数的单调递减区间是___________. 【答案】54 , 4 ,3 3k k k        Z

　【解析】∵ sinx  的减区间是 2,22 2k k      ， ∴12 2 ,2 2 3 2k x k k         Z ，

　得出54 4 ,3 3k x k k       Z ， ∴   f x 的递减区间是54 , 4 ,3 3k k k        Z . 故答案为：54 , 4 ,3 3k k k        Z

　4．（2021·上海浦东新·华师大二附中高一期中）已知函数    *πcos4f x x       N在π π,3 2   上不单调，则  的最小值为___________. 【答案】3 【解析】函数*( ) cos( )( )4f x x N     在 ( , )3 2 上不单调， 当函数为单调递增时，即2 24k x k       剟 ，整理得：3 2 24 4k kx         剟 ， ( ) kZ ， 由于函数在 ( , )3 2 上单调递增时，3 2 2( )4 3 2 4k kx k Z              剟 ，即：2 34 322 4kk       „„， 整理得：当 0 k  时，9 14 2  剟 ；①当函数单调递减时； 2 24k x k      剟 ， 整...

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