下面是小编为大家整理的指数函数知识点总结(全文),供大家参考。
指数函数
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 a x n ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N* . 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 0 0 n。
当 n 是奇数时, a an n ,当 n 是偶数时, ) 0 () 0 (| |aaaaa an n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
) 1 , , , 0 (* n N n m a a an mnm) 1 , , , 0 (1 1* n N n m aaaan mnmnm 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)ra·s r ra a
) , , 0 ( R s r a ; (2)rs s ra a ) (
) , , 0 ( R s r a ;
(3)s r ra a ab ) ( ) , , 0 ( R s r a . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 ) 1 , 0 ( a a a yx且 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 654321-1-4 -2 2 4 601 654321-1-4 -2 2 4 601 定义域 R 定义域 R 值域 y>0 值域 y>0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非 奇 非 偶函数 函数图象都过定点(0,1)
函 数 图 象都 过 定 点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上, ) 1 a 0 a ( a ) x ( fx 且 值域是 )] b ( f ), a ( f [ 或)] a ( f ), b ( f [
(2)若 0 x ,则 1 ) x ( f ; ) x ( f 取遍所有正数当且仅当 R x ; (3)对于指数函数 ) 1 a 0 a ( a ) x ( fx 且 ,总有 a ) 1 ( f ; 指数函数·例题解析
【例 1 1】求下列函数的定义域与值域:
(1)y 3 (2)y (3)y12 x= = = 2 1 3 32 1 x x
解
(1)定义域为 x∈R R 且 x≠2.值域 y>0 且 y≠1. (2)由 2 x+2 -1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为 y≥0. (3)由 3-3 x-1 ≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3, ∴值域是 ≤ < . 0 y 3
练习:(1)412xy ;
(2)| |2( )3xy ;
(3)
1 2 41 x xy ;
【例 2 2 】指数函数 y=a x ,y=b x ,y=c x ,y=d x 的图像如图 2.6-2 所示,则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 [
] A.a<b<1<c<d
B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c
D.c<d<1<a<b 解
选(c),在 x 轴上任取一点(x,0), 则得 b<a<1<d<c. 练习:指数函数①
②
满足不等式
,则它们的图象是 (
).
【例 3 3 】比较大小:
(1) 2(2)0.6、 、 、 、 的大小关系是:
. 2 4 8 16323 5 8 94512 ( ) (3)4.5 4.1 ________3.7 3.6
解 解 (1)y 2 2 1 ( )x∵ , , , , ,函数 = , > ,该函数在 -∞,+∞ 上是增函数,又 < < < < ,∴ < < < < .2 2 2 2 4 2 8 2 16 213382549122 8 4 16 2123135258389493 8 5 9 解 解 (2) 0.6 1 10.6∵ > , > ,∴ > . 451245123232( )( ) 解
(3)借助数 4.5 3.6 打桥,利用指数函数的单调性,4.5 4.1 >4.5 3.6 ,作函数 y 1 =4.5 x ,y 2 =3.7 x 的图像如图 2.6-3,取 x=3.6,得 4.5 3.6 >3.7 3.6
∴ 4.5 4.1 >3.7 3.6 .
说明
如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例 2 中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助 1 作桥梁,如例 2 中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与 4.5 4.1 同底与 3.7 3.6 同指数的特点,即为 4.5 3.6 (或3.7 4.1 ),如例 2 中的(3). 练习:
(1)1. .72. .5
与
1. .7 3
( 2 )0.10.8 与0.20.8
( 3 )
1. .70. .3
与
0. .9 3. .1
(4)5 . 31 . 2和7 . 20 . 2 【例4】解比较大小 与 > 且 ≠ , > .当 < < ,∵ > , > ,a aaaan nn n n nn nn nn n 1 1111111(a 0 a 1 n 1)0 a 1 n 1 0( )( )
∴ < ,∴ <当 > 时,∵ > , > ,∴ > , >a a an na a an n n n n nn n n n n n11 1 111 1 111( )( )( ) 1a 1 n 1 01
【例 5 5 】作出下列函数的图像:
(1)y (2)y 2 2x= = - , ( )121 x (3)y=2 |x-1|
(4)y=|1-3 x |
解 解
(1)y ( 2 6 4) (0 ) ( 1 1)y 1= 的图像 如图 . - ,过点 , 及 - , .是把函数 = 的图像向左平移 个单位得到的.( )( )1212121 xx 解
(2)y=2 x -2 的图像(如图 2.6-5)是把函数 y=2 x 的图像向下平移 2 个单位得到的.
解
(3)利用翻折变换,先作 y=2 |x| 的图像,再把 y=2 |x| 的图像向右平移 1个单位,就得 y=2 |x-1| 的图像(如图 2.6-6). 解
(4)作函数 y=3 x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y=-3 x 的图像,再把 y
=-3 x 的图像向上平移 1 个单位,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到.(如图 2.6-7)
【例8】已知 = > f(x) (a 1)aaxx11 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的值域;(3)证明 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.
解
(1)定义域是 R R. f( x) f(x) - = =- ,aaaaxxxx 1111 ∴函数 f(x)为奇函数. (2) y y 1 a 1 y 1x函数 = ,∵ ≠ ,∴有 = > - < < ,aayyyyxx 1111110
即 f(x)的值域为(-1,1). (3)设任意取两个值 x 1 、x 2 ∈(-∞,+∞)且 x 1 <x 2 .f(x 1 )-f(x 2 ) = = ,∵ > , < , < , ++ > ,∴ < ,故 在 上为增函数.aaaaa aa aa a aax lx lxxx l xx l xx x xx 11212122121221 1( )( )( )a 1 x x ( 1)( 1) 0 f(x ) f(x ) f(x) R1 21 2
单元测试题
:
一、选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1、化简1 1 1 1 132 16 8 4 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ,结果是(
)
A、113211 22
B、11321 2
C、1321 2
D、13211 22 2、4 43 6 6 3 9 9a a 等于(
)
A、16a
B、 8a
C、 4a
D、 2a
3、若 1, 0 a b ,且 2 2b ba a ,则b ba a 的值等于(
)
A、 6
B、 2
C、 2
D、2 4、函数 2( ) 1xf x a 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
)
A、 1 a
B、 2 a
C、 2 a
D、 1 2 a
5、下列函数式中,满足1( 1) ( )2f x f x 的是(
) A、 1( 1)2x
B、14x
C、 2 x
D、 2 x 6、下列2( ) (1 )x xf x a a 是(
)
A、奇函数
B、偶函数
C、非奇非偶函数
D、既奇且偶函数 7、已知 , 0 a b ab ,下列不等式(1)2 2a b ;(2) 2 2a b ;(3)b a1 1 ;(4)1 13 3a b ;(5)1 13 3a b 中恒成立的有(
)
A、1 个
B、2 个
C、3 个
D、4 个 8、函数2 12 1xxy是(
)
A、奇函数
B、偶函数
C、既奇又偶函数
D、非奇非偶函数 9、函数12 1xy 的值域是(
)
A、 ,1
B、 ,0 0,
C、 1,
D、 ( , 1) 0,
10、已知 0 1, 1 a b ,则函数xy a b 的图像必定不经过(
)
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限 11、2( ) 1 ( )( 0)2 1xF x f x x 是偶函数,且 ( ) f x 不恒等于零,则 ( ) f x (
) A、是奇函数
B、可能是奇函数,也可能是偶函数 C、是偶函数
D、不是奇函数,也不是偶函数 12、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 % b ,则 n 年后这批设备的价值为(
)
A、 (1 %) na b
B、 (1 %) a nb
C、 [1 ( %) ]na b
D、 (1 %) n a b
:
二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上)
13、若 10 3,10 4x y ,则 10 x y
。
14、函数22 8 11( 3 1)3x xy x ≤ ≤ ≤ 的值域是
。
15、函数22 33xy 的单调递减区间是
。
16、若2 1(5 ) 2xf x ,则 (125) f
。
:
三、解答题:(本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17、设 0 1 a ,解关于 x 的不等式2 22 3 2 2 2 3 x x x xa a 。
18、已知 3,2 x ,求1 1( ) 14 2x xf x 的最小值与最大值。
19、设 a R ,2 2( ) ( )2 1xxa af x x R ,试确定 a 的值,使 ( ) f x 为奇函数。
20、已知函数22 513x xy ,求其单调区间及值域。
21、若函数 4 3 2 3x xy 的值域为 1,7 ,试确定 x 的取值范围。
22、已知函数1( ) ( 1)1xxaf x aa (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域;(3)证明( ) f x 是 R 上的增函数。
指数与指数函 数同步练习参考答案
一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D B C A D A A D 二、13、43
14、991,33 ,令2 22 8 1 2( 2) 9 U x x x ,∵ 3 1, 9 9 x U ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ,又∵13Uy 为减函数,∴99133y ≤ ≤ 。
15、 0, ,令23 , 2 3Uy U x , ∵ 3 U y 为增函数,∴22 33xy 的单调递减区间为 0, 。
16、 0,3 2 2 1(125) (5 ) (5 ) 2 2 0 f f f
三、17、∵ 0 1 a ,∴ xy a 在 , 上为减函数,∵ 2 22 3 2 2 2 3 x x x xa a , ∴2 22 3 2 2 2 3 1 x x x x x
18、221 1 1 3( ) 1 4 2 1 2 2 1 24 2 2 4x x x x xx xf x ,
∵ 3,2 x , ∴12 84x ≤ ≤ . 则当122x ,即 1 x 时, ( ) f x 有最小值43;当 2 8x ,即 3 x 时, ( ) f x 有最大值 57。
19、要使 ( ) f x 为奇函数,∵ x R ,∴需 ( ) ( ) 0 f x f x ,
∴12 2 2( ) , ( )2 1 2 1 2 1xx x xf x a f x a a , 由12 202 1 2 1xx xa a , 得2(2 1)2 02 1xxa , 1 a 。
20、令13Uy ,22 5 U x x ,则 y 是关于 U 的减函数,而 U 是 , 1 上的减函数, 1, 上的增函数,∴22 513x xy 在 , 1 上是增函数,而在 1, 上是减函数,又∵2 22 5 ( 1) 4 4 U x x x ≥ , ∴22 513x xy 的值域为410,3 。
21、24 3 2 3 2 3 2 3x x x xy ,依题意有 22(2 ) 3 2 3 7(2 ) 3 2 3 1x xx x ≤≥即1 2 42 2 2 1xx x 或≤ ≤≥ ≤,∴ 2 2 4 0 2 1,x x 或 ≤ ≤ ≤
由函数 2 x y 的单调性可得 ( ,0] [1,2] x 。
22、(1)∵定义域为 x R ,且1 1( ) ( ), ( )1 1x xx xa af x f x f xa a 是奇函数; (2)1 2 2 2( ) 1 , 1 1, 0 2,1 1 1xxx x xaf x aa a a ∵ 即 ( ) f x 的值域为 1,1 ; (3)设1 2, x x R ,且1 2x x ,
1 2 1 21 2 1 21 21 1 2 2( ) ( ) 01 1 ( 1)( 1)x x x xx x x xa a a af x f xa a a a (∵分母大于零,且1 2x xa a )
∴ ( ) f x 是 R 上的增函数。