指数函数知识点总结(全文)

时间:2022-08-25 11:55:07 来源:网友投稿

下面是小编为大家整理的指数函数知识点总结(全文),供大家参考。

指数函数知识点总结(全文)

 

 指数函数

 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 a x n  ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N* . 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 0 0 n。

 当 n 是奇数时, a an n ,当 n 是偶数时, ) 0 () 0 (| |aaaaa an n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

 ) 1 , , , 0 (*    n N n m a a an mnm) 1 , , , 0 (1 1*    n N n m aaaan mnmnm 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)ra·s r ra a

  ) , , 0 ( R s r a   ; (2)rs s ra a  ) (

  ) , , 0 ( R s r a   ;

 (3)s r ra a ab  ) ( ) , , 0 ( R s r a   . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 ) 1 , 0 (    a a a yx且 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 654321-1-4 -2 2 4 601 654321-1-4 -2 2 4 601 定义域 R 定义域 R 值域 y>0 值域 y>0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非 奇 非 偶函数 函数图象都过定点(0,1)

 函 数 图 象都 过 定 点(0,1)

 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

  (1)在[a,b]上, ) 1 a 0 a ( a ) x ( fx   且 值域是 )] b ( f ), a ( f [ 或)] a ( f ), b ( f [

 (2)若 0 x  ,则 1 ) x ( f  ; ) x ( f 取遍所有正数当且仅当 R x ; (3)对于指数函数 ) 1 a 0 a ( a ) x ( fx   且 ,总有 a ) 1 ( f  ; 指数函数·例题解析

 【例 1 1】求下列函数的定义域与值域:

 (1)y 3 (2)y (3)y12 x= = =   2 1 3 32 1 x x

 解

 (1)定义域为 x∈R R 且 x≠2.值域 y>0 且 y≠1. (2)由 2 x+2 -1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为 y≥0. (3)由 3-3 x-1 ≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3, ∴值域是 ≤ < . 0 y 3

 练习:(1)412xy ;

 (2)| |2( )3xy  ;

 (3)

 1 2 41   x xy ;

  【例 2 2 】指数函数 y=a x ,y=b x ,y=c x ,y=d x 的图像如图 2.6-2 所示,则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 [

 ] A.a<b<1<c<d

 B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c

 D.c<d<1<a<b 解

  选(c),在 x 轴上任取一点(x,0), 则得 b<a<1<d<c. 练习:指数函数①

 ②

 满足不等式

 ,则它们的图象是 (

  ).

 【例 3 3 】比较大小:

 (1) 2(2)0.6、 、 、 、 的大小关系是:

 . 2 4 8 16323 5 8 94512 ( ) (3)4.5 4.1 ________3.7 3.6

 解 解 (1)y 2 2 1 ( )x∵ , , , , ,函数 = , > ,该函数在 -∞,+∞ 上是增函数,又 < < < < ,∴ < < < < .2 2 2 2 4 2 8 2 16 213382549122 8 4 16 2123135258389493 8 5 9     解 解 (2) 0.6 1 10.6∵ > , > ,∴ > .  451245123232( )( ) 解

 (3)借助数 4.5 3.6 打桥,利用指数函数的单调性,4.5 4.1 >4.5 3.6 ,作函数 y 1 =4.5 x ,y 2 =3.7 x 的图像如图 2.6-3,取 x=3.6,得 4.5 3.6 >3.7 3.6

 ∴ 4.5 4.1 >3.7 3.6 .

 说明

  如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例 2 中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助 1 作桥梁,如例 2 中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与 4.5 4.1 同底与 3.7 3.6 同指数的特点,即为 4.5 3.6 (或3.7 4.1 ),如例 2 中的(3). 练习:

 (1)1. .72. .5

  与

 1. .7 3

  ( 2 )0.10.8  与0.20.8 

 ( 3 )

 1. .70. .3

 与

  0. .9 3. .1

  (4)5 . 31 . 2和7 . 20 . 2 【例4】解比较大小 与 > 且 ≠ , > .当 < < ,∵ > , > ,a aaaan nn n n nn nn nn n 1 1111111(a 0 a 1 n 1)0 a 1 n 1 0( )( )

 ∴ < ,∴ <当 > 时,∵ > , > ,∴ > , >a a an na a an n n n n nn n n n n n11 1 111 1 111( )( )( )    1a 1 n 1 01

 【例 5 5 】作出下列函数的图像:

 (1)y (2)y 2 2x= = - , ( )121 x (3)y=2 |x-1|

 (4)y=|1-3 x |

 解 解

 (1)y ( 2 6 4) (0 ) ( 1 1)y 1= 的图像 如图 . - ,过点 , 及 - , .是把函数 = 的图像向左平移 个单位得到的.( )( )1212121 xx 解

 (2)y=2 x -2 的图像(如图 2.6-5)是把函数 y=2 x 的图像向下平移 2 个单位得到的.

 解

 (3)利用翻折变换,先作 y=2 |x| 的图像,再把 y=2 |x| 的图像向右平移 1个单位,就得 y=2 |x-1| 的图像(如图 2.6-6). 解

 (4)作函数 y=3 x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y=-3 x 的图像,再把 y

 =-3 x 的图像向上平移 1 个单位,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到.(如图 2.6-7)

 【例8】已知 = > f(x) (a 1)aaxx11 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的值域;(3)证明 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.

 解

 (1)定义域是 R R. f( x) f(x) - = =- ,aaaaxxxx 1111 ∴函数 f(x)为奇函数. (2) y y 1 a 1 y 1x函数 = ,∵ ≠ ,∴有 = > - < < ,aayyyyxx 1111110

 即 f(x)的值域为(-1,1). (3)设任意取两个值 x 1 、x 2 ∈(-∞,+∞)且 x 1 <x 2 .f(x 1 )-f(x 2 ) = = ,∵ > , < , < , ++ > ,∴ < ,故 在 上为增函数.aaaaa aa aa a aax lx lxxx l xx l xx x xx 11212122121221 1( )( )( )a 1 x x ( 1)( 1) 0 f(x ) f(x ) f(x) R1 21 2

 单元测试题

 :

 一、选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

 1、化简1 1 1 1 132 16 8 4 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2                         ,结果是(

  )

 A、113211 22    

  B、11321 2    

  C、1321 2

  D、13211 22     2、4 43 6 6 3 9 9a a         等于(

  )

 A、16a

  B、 8a

 C、 4a

 D、 2a

 3、若 1, 0 a b   ,且 2 2b ba a    ,则b ba a   的值等于(

 )

 A、 6

  B、 2 

  C、 2 

  D、2 4、函数  2( ) 1xf x a   在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(

 )

 A、 1  a

 B、 2  a

  C、 2 a 

  D、 1 2 a  

 5、下列函数式中,满足1( 1) ( )2f x f x   的是(

  ) A、 1( 1)2x

  B、14x 

  C、 2 x

 D、 2 x  6、下列2( ) (1 )x xf x a a    是(

  )

 A、奇函数

 B、偶函数

  C、非奇非偶函数

  D、既奇且偶函数 7、已知 , 0 a b ab   ,下列不等式(1)2 2a b  ;(2) 2 2a b ;(3)b a1 1 ;(4)1 13 3a b  ;(5)1 13 3a b         中恒成立的有(

  )

 A、1 个

  B、2 个

  C、3 个

  D、4 个 8、函数2 12 1xxy是(

  )

 A、奇函数

 B、偶函数

  C、既奇又偶函数

  D、非奇非偶函数 9、函数12 1xy 的值域是(

  )

 A、   ,1 

  B、     ,0 0,  

  C、   1,  

 D、   ( , 1) 0,   

 10、已知 0 1, 1 a b     ,则函数xy a b   的图像必定不经过(

  )

 A、第一象限

 B、第二象限

  C、第三象限

  D、第四象限 11、2( ) 1 ( )( 0)2 1xF x f x x      是偶函数,且 ( ) f x 不恒等于零,则 ( ) f x (

 ) A、是奇函数

 B、可能是奇函数,也可能是偶函数 C、是偶函数

 D、不是奇函数,也不是偶函数 12、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 % b ,则 n 年后这批设备的价值为(

  )

 A、 (1 %) na b 

 B、 (1 %) a nb 

  C、 [1 ( %) ]na b 

  D、 (1 %) n a b 

 :

 二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上)

 13、若 10 3,10 4x y  ,则 10 x y

  。

 14、函数22 8 11( 3 1)3x xy x      ≤ ≤ ≤ 的值域是

  。

 15、函数22 33xy 的单调递减区间是

  。

 16、若2 1(5 ) 2xf x  ,则 (125) f 

  。

 :

 三、解答题:(本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

 17、设 0 1 a   ,解关于 x 的不等式2 22 3 2 2 2 3 x x x xa a    。

  18、已知   3,2 x  ,求1 1( ) 14 2x xf x    的最小值与最大值。

 19、设 a R  ,2 2( ) ( )2 1xxa af x x R   ,试确定 a 的值,使 ( ) f x 为奇函数。

 20、已知函数22 513x xy     ,求其单调区间及值域。

 21、若函数 4 3 2 3x xy    的值域为   1,7 ,试确定 x 的取值范围。

  22、已知函数1( ) ( 1)1xxaf x aa  (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域;(3)证明( ) f x 是 R 上的增函数。

  指数与指数函 数同步练习参考答案

 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D B C A D A A D 二、13、43

 14、991,33       ,令2 22 8 1 2( 2) 9 U x x x       ,∵ 3 1, 9 9 x U   ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ,又∵13Uy   为减函数,∴99133y   ≤ ≤ 。

 15、   0, ,令23 , 2 3Uy U x    , ∵ 3 U y  为增函数,∴22 33xy 的单调递减区间为   0, 。

 16、 0,3 2 2 1(125) (5 ) (5 ) 2 2 0 f f f     

 三、17、∵ 0 1 a   ,∴ xy a  在   ,   上为减函数,∵ 2 22 3 2 2 2 3 x x x xa a    , ∴2 22 3 2 2 2 3 1 x x x x x       

 18、221 1 1 3( ) 1 4 2 1 2 2 1 24 2 2 4x x x x xx xf x                  ,

 ∵   3,2 x  , ∴12 84x ≤ ≤ . 则当122x  ,即 1 x  时, ( ) f x 有最小值43;当 2 8x  ,即 3 x   时, ( ) f x 有最大值 57。

 19、要使 ( ) f x 为奇函数,∵ x R  ,∴需 ( ) ( ) 0 f x f x    ,

 ∴12 2 2( ) , ( )2 1 2 1 2 1xx x xf x a f x a a        , 由12 202 1 2 1xx xa a    , 得2(2 1)2 02 1xxa , 1 a   。

 20、令13Uy   ,22 5 U x x    ,则 y 是关于 U 的减函数,而 U 是   , 1   上的减函数,  1,   上的增函数,∴22 513x xy     在   , 1   上是增函数,而在   1,   上是减函数,又∵2 22 5 ( 1) 4 4 U x x x       ≥ , ∴22 513x xy     的值域为410,3       。

 21、24 3 2 3 2 3 2 3x x x xy         ,依题意有 22(2 ) 3 2 3 7(2 ) 3 2 3 1x xx x      ≤≥即1 2 42 2 2 1xx x  或≤ ≤≥ ≤,∴ 2 2 4 0 2 1,x x 或 ≤ ≤ ≤

 由函数 2 x y  的单调性可得 ( ,0] [1,2] x  。

 22、(1)∵定义域为 x R  ,且1 1( ) ( ), ( )1 1x xx xa af x f x f xa a       是奇函数; (2)1 2 2 2( ) 1 , 1 1, 0 2,1 1 1xxx x xaf x aa a a          ∵ 即 ( ) f x 的值域为   1,1  ; (3)设1 2, x x R  ,且1 2x x  ,

 1 2 1 21 2 1 21 21 1 2 2( ) ( ) 01 1 ( 1)( 1)x x x xx x x xa a a af x f xa a a a         (∵分母大于零,且1 2x xa a  )

 ∴ ( ) f x 是 R 上的增函数。

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